CALCULS ALGEBRIQUES

M E N U

1 - Signe d' un produit / d'un quotient .

TABLEAU DES SIGNES

Première étape : inscrire dans la première ligne du tableau le domaine de définition D et les valeurs particulières de
la variable (souvent x).
Ces valeurs sont celles qui annulent la fonction et celles pour lesquelles la fonction n'existe pas.
Deuxième étape : continuer le tableau en réservant une ligne à chaque facteur .
Sur chaque ligne, on note le signe du facteur dans chaque intervalle limité par les valeurs particulières.
On peut utiliser les règles suivantes :- Un carré est toujours positif.
                                                          - Une quantité sous radical doit être positive.
                                                          - signe de ax + b :

                                                          - Au franchissement de chaque valeur particulière :
le signe change si le facteur étudié est élevé à un degré impair (1 ou 3 ou 5 ..) .
Le signe ne change pas lorsque le facteur est élevé à un degré pair (2 ou 4 ou 6..) .

G(x) a des valeurs négatives sur l'intervalle ]-7 ;-1/2 [ , des valeurs positives sur l'intervalle ]-1/2 ; [ et est nulle en - 1/2 .

2- Identités remarquables .
Vous connaissez déjà : (a + b)² = a² + 2ab + b²
                                     (a - b)² = a² - 2ab + b²
                                      a² - b² = (a - b)(a + b)
La "famille" s'agrandit avec :

que vous pourrez vérifier en développant et réduisant.
Utilisation (Math 2^de - Deledic .. Bordas )
Exemple 1
Factoriser A = x³ - 8 .

Le nombre 8 est - il le cube d'un nombre entier ?
A s'écrit alors : A = x³ - 2³ . Vous reconnaissez une identité remarquable de la forme a³ - b³.
A = (x - 2)(x² + 2x + 2²).
Exemple 2

Exemple 3
Calculer a tel que f(x) = x² + 2x - 3 = (x + 1 )² + a .
Dire alors si la fonction f(x) admet un extremum, sur . Si oui, le préciser.
On développe le second membre : x² + 2x - 3 = x² +2x + 1 + a .
d'où : x² + 2x - 3 - x² - 2x - 1 = a et a = - 4 .
Donc : f(x) =(x + 1)² - 4
Sur , on a (x + 1)² 0 . On obtient donc f(x) en ajoutant un nombre positif ou nul à -4.
f(x) est donc supérieur ou égal à -4 quelque soit x. Elle admet donc un mimimumt atteint pour x = -1.

Exemple 3
Avec A= 2 - 3x² et B = x² + 3x - 1 , développer et réduire : A² - B² .
A² - B² = (A - B)(A + B) = [2 - 3x^{2 - (}x² + 3x - 1)][(2 - 3x²) + (x² + 3x - 1)]
A² - B² = (2 - 3x^{2 -} x² - 3x + 1)(2 - 3x² + x² + 3x - 1)
A² - B² = (- 4x² - 3x +3)(- 2x² + 3x + 1)
A² - B² = 8x⁴ - 6x³ - 19x² + 6x + 3

3 - Equations et inéquations.
Règles de transformations :
Règle de définition.
Faire très attention à la présence de dénominateur(s) et/ou de radicaux dans les expressions :
Il faut dès le départ repérer les valeurs interdites et préciser l'ensemble de définition.
Règle de transposition :
On peut transposer un terme d'un membre d'une équation ou d'une inéquation dans l'autre,
à condition de changer son signe.
Règles de multiplication / division :
- Equation : on peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre réel non nul .
- Inéquation: on peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre réel non nul,
                     MAIS: on change le sens de l'inéquation si le nombre réel est négatif ; on conserve le sens si le réel est positif.
Méthodologie :
>> Repérer les valeurs interdites pour définir l'intervalle de définition.
>> Réunir les expressions dans un seul membre si besoin .
>> Réaliser les transformations nécessaires (factorisations, développements, réductions au même dénominateur, réduction des termes semblables. . . )
>> Pour une inéquation produit ou quotient, étudier le signe (tableau de signes).
>> S'assurer de la cohérence du(es) résultat(s).

Exemple 1 .

Résoudre : 3x - 2 > 7x + 4	- Intervalle de définition : D =
3x - 7x >4 + 2	- Transposition de 7x et de -2
- 4x > 6	- On réduit chaque membre .
4x < -6	- On multiplie chaque membre par -1 (réel négatif) ,    donc il faut changer le sens de l'inégalité.
x < -3/2        S =]-; - 3/2[	- On divise le deux membres par 4 (réel positif).

Exemple 2


Exemple 3

Exemple 4.
Attention aux équations apparemment simples : résoudre 5x = 2x²

Exemple 5 .( difficile en Seconde).

















4 - Valeurs absolues.

La valeur absolue d'un nombre est un nombre positif.
Si x [0 ; +[ , alors |x| = x
Si x ]-; 0] , alors |x| = - x (- x est positif , c' est l' opposé de x ).
De même : Si x - a [0 ; +[ , dans cet intervalle, x > a alors |x - a | = x - a
                 Si x - a ]-; 0] , dans cet intervalle, x < a alors |x - a | = a - x (a - x est positif, c'est l' opposé de x- a ).
Rappel : la distance entre deux réels est la différence entre le plus grand et le plus petit.

Exemple 1.
Comparez les deux cas suivants , dans :

Résoudre |x - a| > 3
a) si x > a, alors x - a > 3
soit x > 3 + a .
b) si x < a, |x - a| = a - x ( a - x est positif). et a - x > 3 .
soit : x < a - 3 .
c) si x = a , on ne pourrait avoir 0 > 3 : a ne fait pas partie de l'ensemble des solutions recherchées.

l'ensemble des solutions est : S = ]- ; a - 3[ ]a + 3 ; +[ .

d(x ; a) > 3

Résoudre |x - a| < 3
a) si x > a, |x - a| = x - a
et x - a < 3 a pour solution x < 3 + a
b) si x < a, |x - a| = a - x ( a - x est positif).
et a - x < 3 a pour solution x > a - 3 .
c) si x = a , on a bien 0 < 3
L' inégalité |x - a| < 3 se traduit par : a - 3 < x <a +3 .
l'ensemble des solutions est : S = ]a - 3 ; a + 3[
d(x ; a) < 3

L' équation admet une seule solution : S = {4,5}.



Dans l'intervalle ]-;3], A(x) est représenté par la droite y = -2x + 9 .
Dans l'intervalle [3; 6] , A(x) est représenté par la droite y = 3.
Dans l'intervalle ]6 ;+] , A(x) est représenté par la droite y = 2x -9.

Voir les Graphes.

Exemple 4.
Résoudre l'inéquation : 2|x|+ 3|x - 30| 80 .
Les valeurs absolues sont obligatoirement des nombres positifs.
Selon les valeurs prises par x, |x| et |x - 30| évoluent ainsi :

On a donc trois cas à étudier :

x 0	Calculs
2|x|+ 3|x - 30| 80 devient :	- 2x + 3(30 - x) - 80 0 - 5x + 10 0 10 5x soit x 2 ; ce qui est impossible puisque x < 0

0 x 30	Calculs
2|x|+ 3|x - 30| 80 devient :	2x + 3(30 - x) - 80 0 - x + 10 0 10 x soit x 10 ; d'où : 10 x 30 .

x 3 0	Calculs
2|x|+ 3|x - 30| 80 devient :	2x + 3(x - 30) - 80 0 5x - 170 0 5x 170 soit x 34; d'où : 30 x 34

Au total, l'ensemble des solutions est donc : S = [ 10 ; 34 ] .

Traduction graphique : Les solutions sont représentées par les valeurs de x comprises entre A et C .

5 - Radicaux et quantité conjuguée

Cas simples :

Cas général :