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Buste de Pythagore Source: Thoemmes Press Portrait Gallery

La vie de Pythagore (vers 570 à 480ans avant J.C.) est mal connue. Originaire de lîle de Samos, en mer Egée, il voyagea beaucoup, et l'on pense qu'au cours de ses voyages il apprit les mathématiques babyloniennes et égyptiennes. Il partit s'installer à Crotone, en Italie du sud (à l'époque sous domination grecque), auprès de Milon, un athlète accompli, douze fois vainqueur aux Jeux Olympiques et pythiques. Milon avait le bon goût de s'intéresser aux mathématiques et à la philosophie. Grâce à lui, Pythagore fonda la Fraternité pythagoricienne, un groupe fort de plusieurs centaines de disciples aux pratiques quelque peu obscures. Les membres de la Fraternité pythagoricienne vénéraient le Nombre. Ils s'attachaient à étudier les nombres entiers (1, 2, 3, ...) ainsi que les rapports de proportion entre ces nombres, c'est-à-dire les nombres rationnels, encore appelés fractions (1/2, 1/3, ...). Ils pensaient que les nombres seuls permettent de saisir la nature véritable de l'univers. Ils recherchaient un sens esthétique avant tout mathématique. Les Grecs considéraient que l'harmonie de l'univers était régie par la sagesse les nombres. On raconte que, passant devant une forge, Pythagore entendit frapper la quinte et l'octave . Il se mit alors à étudier les intervalles musicaux et affirma que les nombres entiers permettent d'expliquer l'harmonie des sons. Pythagore réalisa, avec trois de ses disciples, le calcul des intervalles musicaux, soit l'écart entre deux notes de la gamme musicale.

Platon (427-327 avant J.-C.) pensait lui que les nombres sont "l'essence même de l'harmonie cosmique et intérieure" (le platonisme mathématique consiste à penser que les objets mathématiques ont une existence indépendante du monde sensible).

Leibniz a dit en 1712 : "La musique est un exercice d'arithmétique secrète et celui qui s'y livre ignore qu'il manie les nombres " La musique fait partie de notre quotidien. Il y en a pour tous les goûts, du classique au rap en passant par le rock. Cependant les écritures musicales, aussi antagonistes soient-elles, sont toutes basées sur la gamme : l'écriture musicale habituelle utilise une suite de notes, rangées par fréquence croissante, dans l'intervalle d'une octave.

Le mot gamme vient de la lettre grecque gamma, elle correspond à l'énumération familière "Do-Ré-Mi-Fa-Sol-La- Si-Do".
L'octave est l'intervalle fondamental qui délimite la gamme. C'est l'intervalle qui existe entre le premier et le deuxième Do. L'octave est extrêmement naturelle: lorsqu'un homme et une femme chantent ensemble la même mélodie, ils le font en général avec un intervalle d'une octave, la plupart de temps sans s'en rendre compte.

Nous nous sommes posés la question : " Comment la gamme fait-elle de la musique une discipline scientifique?"

Hypothèse : Une musique nous parait harmonieuse si les notes qui la constituent sont disposés avec une régularité mathématique.

VALIDATION EXPÉRIMENTALE :
Protocole : Un son est caractérisé par 4 facteurs : fréquence (en hertz =Hz), durée (en secondes =s), intensité (niveau sonore en décibels =dB) et timbre :
- La fréquence de la note la plus basse d'un piano correspond à f = 27,5 Hz, tandis que la note plus haute a une fréquence de 4186 Hz.
- L'intensité d'un son est le rapport entre la puissance d'un son (en Watt) et la surface sur laquelle on mesure cette puissance.
Cela permet de comprendre pourquoi un son s'atténue avec la distance, et même, de calculer précisément cette atténuation. Lorsque l'oreille perçoit des sons d'intensités respectives: I, 2 I, 4 I, elle juge que l'écart d'intensité entre les sons d'intensité I et 2 Iest le même que celui entre 2 I et 4 I. Autrement dit, en ce qui concerne l'intensité, l'oreille est sensible aux rapports et non aux différences. On dit que l'oreille travaille de manière logarithmique. Ainsi la grandeur utile est le niveau sonore = log (I / Io). Le niveau sonore s'exprime en décibel (dB). Pour donner un ordre de grandeur, un pianissimo correspond à 30dB et un fortissimo correspond à 90dB.
- Le timbre d'un son peut être quantifié par des outils mathématiques plus élaborés, tels que la décomposition d'une fonction en série de Fourrier. Pour aborder cette question sans rentrer dans de terribles détails, il est plus commode de faire l'expérience suivante: jouez une note sur un piano, en appuyant fortement sur la touche. Si vous écoutez attentivement, vous pourrez percevoir des notes plus hautes, issues de la vibration de certaines autres cordes du piano. Ces dernières notes sont appelées les harmoniques supérieures, tandis que la note jouée est appelée harmonique fondamentale. Les harmoniques supérieures sont définies par des fréquences multiples ( 2f, 3f, 4f...) de la fréquence fondamentale f. Les cordes du piano correspondant à ces fréquences (2f, 3f...) vibrent par sympathie avec la corde initialement excitée. Il existe des modèles physiques simples permettant d'expliquer pourquoi les fréquences des harmoniques supérieures sont des multiples de la fréquence fondamentale. L'expérience précédemment citée peut être réaliser avec d'autres instruments comme la guitare par exemple. Considérons maintenant un son quelconque. L'onde acoustique correspondante peut être décomposée en somme de différents signaux "purs", correspondant aux différentes harmoniques du son. On peut définir une amplitude relative à chaque harmonique, et la collection de toutes ces harmoniques détermine le timbre du son. Par exemple, la guitare et le violon sont des instruments dont le son est riche en harmoniques.

V = vitesse de propagation L = longueur d'onde (distance entre 2 crêtes successives) T = période f = fréquence ou hauteur	avec V =	L
		T
	et f =	1
		T
	onde visible sur l'écran de l'oscilloscope

Nous avons placé un microphone relié à un oscilloscope à mémoire devant un synthétiseur. - On tape sur une note voulue et on enregistre l'oscillation engendrée par la note. - On mesure la distance entre deux en position de phase, on multiplie cette distance par la durée représentée par un carreaux : ainsi on obtient la période en seconde. - Pour obtenir la fréquence on prend l'inverse de la période.

La gamme naturelle :
La fréquence d'un son a beau évoluer de façon continue, les rapports simples de fréquences ont été privilégiés et portent les noms des notes. Ainsi une octave est divisée en 12 intervalles égaux (sur le synthétiseur cela correspond aux touches blanches et noires), les intervalles correspondant aux rapports de fréquence 3/2 (quinte) et 4/3 (quarte). Un intervalle de douze quintes est voisin d'un intervalle de sept octaves (3/2 x12 = 129,7 et 4/3 x7 = 128).
Le problème est que ces notes sortent de l'intervalle fondamental valant une octave. On peut les ramener dans cet intervalle grâce à des changements d'octave; Cela revient à diviser chacune des fréquences par une puissance de 2 appropriée. Si l'on effectue ce travail, que l'on classe les fréquences obtenues par ordre croissant, on obtient douze notes réparties dans l'intervalle allant de Fo à 2Fo. On leur donne les noms : do, do #, ré, ré #, mi, fa, fa #, sol, sol #, la, la #, si. On dit d'une note dièse qu'elle est altérée. Les notes naturelles correspondent aux touches blanches d'un piano, tandis que les notes diésées correspondent aux touches noires. La gamme que nous venons de décrire est appelée" La gamme naturelle" Pythagoricienne. Il existe plusieurs variantes de cette gamme, comme la gamme de Zarlino, prêtre et musicien italien (1517-1590). Toutes ces variantes sont des gammes naturelles car elles respectent le même principe,les intervalles correspondants sont harmonieux.

La juste intonation est généralement inaccessible aux instruments à sons fixes dits aussi « instruments tempérés » : ce sont les plus nombreux. Il est toutefois possible d'accorder ces instruments avec le maximum de quintes, tierces majeures et tierce mineures justes. La théorie mathématique de la musique rend compte de la difficulté d'établissement des gammes et démontre même l'impossibilité de leur perfection. Les imperfections des gammes théoriques ne concernent en fait que les instruments dits « à sons fixes » qui, une fois accordés, émettent au cours de la même pièce musicale, toujours la même fréquence pour la même note. Il n'en va pas de même pour la voix humaine ou pour les instruments dits « naturels » (tels le violon et sa famille) qui peuvent s'adapter de manière quasiment instantanée, en cours d'exécution, à l'environnement modal, pour respecter de façon rigoureuse les intervalles mélodiques ou harmoniques du morceau joué. Ces instruments permettraient ce que certains appellent la "juste intonation", dans laquelle la plupart des intervalles (octave, quinte, tierce...) simultanés ou successifs seraient purs de telle manière qu'une même note soit émise à des fréquences (légèrement) différentes au cours de la même exécution.